2024年9月黎曼zeta函数解析延拓（关于黎曼函数的具体应用）
⑴黎曼zeta函数解析延拓（关于黎曼函数的具体应用
⑵关于黎曼函数的具体应用
⑶所谓黎曼函数R(x)，是定义在区间~上的一个构造函数:当x是有理数p/q(p、q为互质整数)时,R(x)=/q;当x是无理数时，R(x)=.黎曼函数是由黎曼进行定义，用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的。如:黎曼函数在(，)内所有无理数点处连续，在所有有理数点处间断。每一点处都存在着极限，且极限都是(可见间断点都属第一类中的可去间断点)。这个函数在,只有有限个。那么，形如p/q的这种最简真分数的个数也最多只有有限个。设这些有理数分别记为x,x,……，xk.然后，我们在|x-a|、|x-a|、……、|xk-a|中通过比较，一定能选择出最小的正数|Xi-a|，并令δ=|xi-a|/.即存在着正数δ，当《|x-a|《δ时，|R(x)-|《ε.所以，x→a时，R(x)→.利用这一结论知，当a为无理数时，R(x)在x=a处因极限值等于函数值，故而连续;当a为有理数点时，虽然R(x)在x=a处有极限，但函数值R(a)不为，从而x=a成为R(x)的第一类间断点中的可去间断点。证毕。望采纳
⑷广义黎曼猜想的黎曼ζ函数
⑸黎曼在年写的一篇只长页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（RiemannsHypoth-esis。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ函数呢？黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式(n为正整数)ζ(s)=∑nn^-s(Re(s)》)在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为-如我们已经注明的-这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)》的区域(否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴(即从+∞出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至+∞-离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于)进行的围道积分；式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数s》：Γ(s)=(s-)!。可以证明，这一积分表达式除了在s=处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ函数满足以下代数关系式：ζ(s)=Γ(-s)(π)s-sin(πs/)ζ(-s)从这个关系式中不难发现，黎曼ζ函数在s=-n(n为正整数)取值为零-因为sin(πs/)为零。复平面上的这种使黎曼ζ函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。因此s=-n(n为正整数)是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为黎曼ζ函数的平凡零点(trivialzeros)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点(non-trivialzeros)。
⑹以下论证有啥问题+++等于多少
⑺首先，∞不是数，我们说+++...=∞，指的是数列Sn=++...+n发散至∞，也就是说对于任意一个正数M，无论它有多大，总存在一个正整数N，使得当n》N时，Sn》M。所以所谓的∞=-/就是无稽之谈，你后面的===..=∞也是不可能的事情。其次，+++...=-/不管是数学里面也好，你说的zeta函数的解析开拓也好，都不成立。ζ(z)=+/^z+/^+...，本来是只定义在复数z的实部》的情况。当解析开拓到整个复平面后，zeta函数的表达式不再是这个式子了。现在你取z=-，它的实部-《，所以即使ζ(-)=-/，它也不代表+++...=-/，因为对于z=-，函数的表达式不再是+/^z+/^z+...
⑻数学上，有哪些著名的解析延拓
⑼黎曼假设中的黎曼函数是个著名的解析延拓，由阶乘函数到gammar函数是个重要的延拓，还有单位圆，或者任何圆内的，schwarzreflection引导的解析延拓。
⑽黎曼猜想进展如何，有没有完全解决啊
⑾有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，,,,,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(~)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的,,,个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s)=/上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。进展:Riemann猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：Riemannζ函数。这个函数虽然挂着Riemann的大名，其实并不是Riemann首先提出的。但Riemann虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念Riemann的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是Riemannζ函数呢？Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式(n为正整数)ζ(s)=∑nn-s(Re(s)》)在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为-如我们已经注明的-这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)》的区域(否则级数不收敛)。Riemann找到了这一表达式的解析延拓(当然Riemann没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的Riemannζ函数可以表示为：如右上角图式中的积分实际是一个环绕正实轴(即从+∞出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至+∞-离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于)进行的围道积分；式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数s》：Γ(s)=(s-)!。可以证明，这一积分表达式除了在s=处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是Riemannζ函数的完整定义。本段黎曼猜想运用右上角图中的积分表达式可以证明，Riemannζ函数满足以下代数关系式：ζ(s)=Γ(-s)(π)s-sin(πs/)ζ(-s)从这个关系式中不难发现，Riemannζ函数在s=-n(n为正整数)取值为零-因为sin(πs/)为零。复平面上的这种使Riemannζ函数取值为零的点被称为Riemannζ函数的零点。因此s=-n(n为正整数)是Riemannζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为Riemannζ函数的平凡零点(trivialzeros)。除了这些平凡零点外，Riemannζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点(non-trivialzeros)。对Riemannζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。Riemann猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。Riemann猜想:Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=/的直线上。这就是Riemann猜想的内容，它是Riemann在年提出的。从其表述上看，Riemann猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。本段证明黎曼猜想的尝试黎曼年在他的论文überdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGr??e’中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s=?+it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域≤Re(s)≤中。年，雅克·阿达马和CharlesJeandelaVallée-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s)=上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域《Re(s)《上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire:;Sabbagh:;Bollobas:).黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s)=?上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在年及塞尔伯格在年的工作（临界线定理也就是计算零点在临界线Re(s)=?上的平均密度。近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想，而截至年为止有少量的证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑，而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的MatthewR.Watkins为这些或严肃或荒唐的声明了一份列表，而一些其它声称的证明可在arXiv数据库中找到。参考资料：
⑿所有自然数的和是-/上述成论是根据黎曼Zeta函数的什么拓展方法计算得到来
⒀这是一个误传，严格的数学表达是黎曼Zeta函数在-处的解析延拓值等于-/，黎曼Zeta函数对一个复数z的定义为所有正整数的-z次方之和，这个级数在-处（所有正整数的和是不收敛的，事实上该级数对所有实部小于的复数都发散，但利用复变函数中的解析延拓方法可以将这个函数唯一的延拓到整个复数平面上，所得的函数在-处的值为-/，于是就有些书不区分延拓部分和原来的定义，直接写所有正整数的和等于-/。
⒁BB做过一期科普这个，也解释了解析延拓的基本逻辑
⒂最美公式——黎曼猜想
⒃猜想内容黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的,,,个解验证过。黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)》的区域（否则级数不收敛。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：揭示黎曼手稿中zeta函数的真相．百度文库．--黎曼几何(riemanniangeometry)是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。.MillenniumProblems．克雷数学研究所.尼日利亚教授成功解决世界著名难题黎曼猜想．网易新闻.数学领域的头号难题——黎曼假设是否已被解决．光明网.DrEnochDidNotProveTheRiemannHypothesis.．?airalandForum.论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文——谢国芳译注．语数之光
⒄求解答：关于黎曼zeta函数的零点问题（不是黎曼猜想
⒅黎曼zeta函数是上面这个欧拉形式的解析延拓。而上面这个欧拉形式只是当s为s》的实数时的形式。因此对于x=-,-等平凡零点，是不能套用上述公式的，而是套用解析延拓后的公式。
⒆黎曼将zeta函数的定义域解析开拓到整个复平面上，但是除了什么之外
⒇方法很多，我只说两个Riemann原始的方法吧。方法一：他证明Γ(s)ζ(s)是x^(s-)/(e^x-)dx从到无穷大的积分，然后他把后者解析开拓，因为Γ(s)是熟知的，所以将ζ(s)解析开拓至复平面（除了s=。方法二：他借助一个Jacobi为研究椭圆函数和模函数而引入的θ函数（Riemann记为ψ(x)，由Jacobi的一个等式（此等式是Poisson求和法的一个直接结果推出函数方程，然后得到解析开拓。附带一说，Zeta函数和模函数的联系是深刻而微妙的，除了上面所说的，还可以举出Deligne证明Weil猜想中的Riemann猜想类比的一个副产物就是证明了一个模函数的Ramanujan猜想。
⒈黎曼zeta函数公式
⒉黎曼zeta函数公式：ζ(s)=∑n=∞nszeta(s)=sum。
⒊黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-MandelbrotLaw、物理，以及调音的数学理论中。
⒋在区域{s:Re(s)》}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同。欧拉在考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s》。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠上的全纯函数ζ（s。这也是黎曼猜想所研究的函数。
⒌黎曼函数定义在上，其基本定义是：R(x)=/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=，当x=，和(,)内的无理数。
⒍黎曼ζ函数ζ（s的定义如下：设一复数s，其实数部分》而且：
⒎它亦可以用积分定义：
⒏在区域{s:Re(s)》}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同。欧拉在考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s》。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠上的全纯函数ζ（s。这也是黎曼猜想所研究的函数。